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       Le problème du cercle

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Prérequis :

      [Référentiel de SCI Volume 1].

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Source :

       https://fr.wikipedia.org/wiki/Probl%C3%A8me_du_cercle

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                       Chapitre 1 : Le problème du cercle

Problème :
       À partir d'un point sur un quadriller, nous traçons un cercle.

    Selon le rayon r du cercle, combien de sommet sera dans le cercle?

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Réponse Courte :

      PR( rnd(r-1),i ){ np += rnd(√(r²-rnd(r-i)²))*4 }

      np += (rnd(r)*4)+1 ;

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Réponse Mathématique :

 SO()==

     OL( r(0,100) ) ;           // La Limite L1 Définit la longueur du rayon.

     OM( 1 ) ;                    // L'itération i définit la position calculé sur le rayon.

                   // L'équation ne demande aucune Variable de Résolution.

     OP( L1 ¦ 0 ) ;             // P1 prend la valeur L1 afin de définir le rayon.

      SLP() ;

SLP()==

     PR( rnd( P1 - 1) , i )
     {     M1 += rnd( √( P1² - rnd(P1 - i)² ) )
     }

     AF() ;

AF()==
     M1 += ( rnd( P1 ) * 4 ) + 1 ;

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Explication :

         Le nombre de point touchant un rayon en diagonale rD sera toujours proportionnelle au nombre de point touchant un rayon horizontal rH :

         rD = rH/√2

 

         Nous pouvons déduire que si nous formons un triangle rectangle entre le centre et les points, l'hypoténuse sera toujours égal à la racine carré des deux autres cotés additionnés. Suivant cette logique, pour chaque point touchant un rayon horizontal rH, il y aura un nombre relatif de point qui sera au-dessus du rayon, à la position des points rH et de la distance entre 2 points à la diagonale. Comme le motif est un quadriller, nous multiplions par 4 le nombre de point calculé.

      PR( rnd(r-1),i )

      {     np += rnd(√(r²-rnd(r-i)²))*4

      }

      Nous pouvons constater qu'il est possible de connaître la distance entre un point et le bord du cercle, par le billet d'un triangle rectangle dont l'hypoténuse est égal au rayon. Le coté manquante pour obtenir la longueur du dernier coté est égal au nombre de point entre le centre et les point de l'axe horizontal (ou vertical).

 

      Connaissent donc tout les points extérieur au rayon, il ne reste plus qu'as inclure les points touchant le rayon :

     np += (rnd(r)*4)+1 ;

            Chapitre 2 : Variante : la longueur des arrêtes.

Problème :

       À partir d'un point sur un quadriller, nous traçons un cercle.

              Selon le rayon r du cercle, quel sera la longueur total T des arrêtes contenu dans le cercle ?

Réponse :

       La solution est une version simplifié du problème du cercle. Sans les fonctions rnd(n) nécessaire pour calculer les points, nous pouvons résoudre le problème en effectuent une défractalisation de SCI d'addition dans le calcul :

           T = (  √(  (r*(r-1))² - (r*(r-1)/2)²  )  ) * 8

       Après la racine carré, nous obtenons longueur des arrêtes d'un même sens dans un quart de cercle. Il suffit de multiplié le résultat par 8 afin d'obtenir la longueur total des arrêtes du quadriller dans le cercle.

 

Note : Comme nous pouvons déduire la longueur des arrêtes et le nombre de sommet, sans utiliser de nombre irrationnel, nous prouvons par équivalence, qu'il est possible de résoudre la quadrature d'un cercle. Pour se faire, nous pouvons utiliser la même technique, mais en y intégrant quelque division afin de connaître le nombre de cercle à dessiner dans chaque axe, avant de dessiner le carré, le tout, sans mesurer quoi que se soi. Plus précisément, le différentiel de longueur entre l'arrête du carré et du diamètre du cercle, permet de connaître le nombre de point où les petits cercles doivent être placé. Combiné à la résolution du problème présent, nous savons précisément ou placer chaque ligne à l'aide d'un compas et d'une règle droite sans mesure.