Les Triangles Héroniens

À Propos

Prérequis :

   Source :
         Les triangles héroniens : https://mathworld.wolfram.com/HeronianTriangle.html
         Équation diophantienne : https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_diophantienne

Ce Manuscrit a pour but de répondre aux problèmes irrésolus suivant :
      Question #1 : Prouver l'existence d'une infinité de triangles héroniens.
      Réponse désirée par la communauté scientifique : Une méthode systématique permettant de générer une infinité de triangles héroniens reste inconnue. La question de savoir s'il existe une infinité de tels triangles avec des côtés et une aire entiers reste ouverte.
      Réponse Courte : Mon théorème universelle des triplets pythagoriciens permet de prouvé qu'il existe une infinité de triangles rectangle héronien. Ce manuscrit prouvera qu'il existe une infinité de triangles héroniens autre que des triangles rectangles héronien.
      Question #2 : La majorité des triangles héroniens connus sont des triangles rectangles. Cependant, la recherche de triangles héronien scalènes est un problème irrésolu.
      Réponse désirée par la communauté scientifique : Il n'existe pas encore de classification claire des triangles scalènes qui satisfont à ces critères ; un théorème est nécessaire.
        Réponse Courte : Le théorème des triplets pythagoriciens permet de déduire facilement tout les triangles isocèles héroniens et les triangles scalènes héroniens. Ce manuscrit apporte ce théorème recherché.
      Question #3 : Créer une caractérisation complète des triangles héroniens, c'est-à-dire une description précise de tous les triangles qui satisfont à cette condition.
         Réponse désirée par la communauté scientifique : Bien que la formule d'Héron permette de calculer l'aire d'un triangle à partir de ses côtés, il n'existe pas de méthode simple pour déterminer toutes les combinaisons entières possibles où l'aire égale la somme des côtés.
        Réponse Courte : Grâce à la formule universelle pour trouver les triangles scalènes combiné à la formule universelle des triplets pythagoriciens, une analyse rapide démontre qu'il n'existe que 5 triangles héroniens entiers.
            Note : Ce manuscrit répond par équivalence à la résolution de nombreux autres problèmes irrésolus, tel l'équation diophantienne : c s = ( a+b+c ) / 2

Chapitre 1 : Une infinité de triangles héroniens rectangles.

Grâce au théorème universel des triplets pythagoriciens, nous savons qu'il en existe une infinité et nous pouvons maintenant jusqu'à aller chercher un triplet pythagoricien primitif selon la longueur du segment a.
Pour tout triangle rectangle ayant uniquement des segments entier et une aire entières :
      // Cette formule par défaut est celle des triplets pythagoriciens, avec ses règles d'application.
      // Les triplets pythagoriciens sont les triangles rectangles héroniens.
Variable L (Différence de longueur entre B et C) : ir( 1 , ∞ )
Variable n (Niveau de déformation) : ir( 1 , ∞ )
Segment a : ( (2-parity(L)) * (L*n) ) / min( parity(L) + magic(L,2) , 1 ) + L
Segment b : (a²/(L*2)) - (L/2)
Segment c : (a²/(L*2)) + (L/2)
      OU : ( b+L )
   Règles :
         1 : L doit être un diviseur de a, car l'écart entre b et c sera toujours un diviseur de a. Pour éviter de chercher, L sera toujours un diviseur de a si n est un diviseur de L, ou inversément.

Nous savons que ( a*(a/2) ) permet, à partir des segment a, de déduire tout les segments c dont la valeur de L est égal à 1. Mais aussi, que (a*(a/2))/L est la médiane de la longueur des segments b et c. Nous pouvons donc facilement en déduire que le calcul des segments b et c pourrait aussi être :
      Variable L (Différence de longueur entre B et C) : ir( 1 , ∞ )
      Variable n (Niveau de déformation) : ir( 1 , ∞ )
   Segment a : ( ( (2-parity(L)) * (L*n) ) / min( parity(L) + magic(L,2) , 1 ) ) + L
      Médiane m : ( a * (a/2) ) / L
         OU : (a²/2) / L
      Segment b : m - (L/2)
      Segment c : m + (L/2)
         OU : ( b+L )

Chapitre 2 : Une infinité de triangles héroniens isocèles.

Un triangle isocèle, c'est simplement deux triangles rectangles identique de collé. Pour tout triangle isocèle ayant uniquement des segments entiers et une aire entières, nous pouvons en déduire que :
      // Un triangle isocèle n'est rien d'autre que deux triangles rectangles identique.
      Variable L (Différence de longueur entre B et C) : ir( 1 , ∞ )
      Variable n (Niveau de déformation) : ir( 1 , ∞ )
      Segment a : ( (2-parity(L)) * (L*n) ) / min( parity(L) + magic(L,2) , 1 ) + L
      Segment b : a
      Segment c : ( a² / (L*2) - (L/2) ) / 2
         OU : ( ( (a²/2) / L ) - (L/2) ) / 2
L'ensemble des triangles héroniens isocèles peuvent être définit avec tout les triplets pythagoriciens dont le segment c est un nombre pair. L'équation alternative de conversion est :
      a = choose(a,b)
      b = c/2
      c = c/2
   Une fois les deux équations défractalisées nous obtenons l'équation alternative suivante :
      Variable L (Différence de longueur entre B et C) : 2ir( 1 , ∞ )
      Variable n (Niveau de déformation) : ir( 1 , ∞ )
      Segment a : ( ( (2-parity(L)) * (L*n) ) / min( parity(L) + magic(L,2) , 1 ) + L ) * 2
      Segment b et c : ( a²/(L*2) + (L/2) ) / 2
      Règles :
         1 : a doit être un nombre pair.
         2 : Excluent les valeurs 1 et a, L est un nombre magique (2,4,8,16,32...).
         3 : Excluent les valeurs 1 et a, L est un diviseur de a.

Chapitre 3 : Théorème pour les triangles héroniens scalènes.

Une formule permet de trouver presque tout les triangles héroniens scalènes :
      Hauteur h : ir( 3 , ∞ ) // Hauteur du segment a.
      Diviseur d1 : ir( 1 , ∞ ) // Diviseur de h, et de la même parité.
      Diviseur d2 : ir( 1 , ∞ ) // Diviseur de h, et de la même parité.
      Segment a : ( ( h² / (d1*2) ) + ( h² / (d2*2) ) - ( (d1+d2)/2 )
         OU :
               ( ((h²/d1) + (h²/d2)) - (d1+d2) ) / 2
     Segment b : h²/(d1*2) + (d1/2)
      Segment c : h²/(d2*2) + (d2/2)

      Toutefois, il faut se dire qu'un triangle scalène, c'est simplement la soustraction entre deux triangles rectangles dont leur Segment a ou b possèdent la même longueur :
            // Triangle imaginaire i :
   Variable Li (Différence de longueur entre B et C) : ir( 1 , ∞ )
     Variable ni (Niveau de déformation) : ir( 1 , ∞ )
            // Triangle imaginaire j :
   Variable Lj (Différence de longueur entre B et C) : ir( 1 , ∞ )
     Variable nj (Niveau de déformation) : ir( 1 , ∞ )
            // Les segments des 2 triangles imaginaires doivent être identiques :
   Segment ai : ( (2-parity(Li)) * (Li*n) ) / min( parity(Li) + magic(Li,2) , 1 ) + Li
     Segment aj : ( (2-parity(Lj)) * (Lj*n) ) / min( parity(Lj) + magic(Lj,2) , 1 ) + Lj
            // Déduction logique des segments a, b et c :
   Segment a : (aj²/(Lj*2)) + (Lj/2)
      Segment b : abs( ( (ai²/(Li*2)) - (Li/2) ) - ( (ai²/(Lj*2)) - (Lj/2) ) )
     Segment c : (ai²/(Li*2)) + (Li/2)

         Les triangles rectangles se trouve aussi dans les triangles isocèles, nous trouvons une équivalence :
            // Triangle imaginaire i :
         Variable Li (Différence de longueur entre B et C) : 2ir( 1 , ∞ )
         Variable ni (Niveau de déformation) : ir( 1 , ∞ )
            // Triangle imaginaire j :
         Variable Lj (Différence de longueur entre B et C) : 2ir( 1 , ∞ )
         Variable nj (Niveau de déformation) : ir( 1 , ∞ )
            // Les Segments a doivent être identique, mais les variables Ln et nn doivent être différente.
         Segment a : ( ( (2-parity(Li)) * (Li*ni) ) / min( parity(Li) + magic(Li,2) , 1 ) + Li ) * 2
         Segment a : ( ( (2-parity(Lj)) * (Lj*nj) ) / min( parity(Lj) + magic(Lj,2) , 1 ) + Lj ) * 2
            // Le Segment c :
         Segment c : abs( ( ( a² / (Li*2) + (Li/2) ) - ( a² / (Lj*2) + (Lj/2) ) ) / 2 )
            // Le Segment b :
         Segment b : √( c²-a² )

     Grâce à la version simplifiée de la formule universelle des triplets pythagoriciens, il est possible de déduire tout les triangles héroniens. Si par défaut les triplets pythagoricien représente tout les triangles rectangles héroniens, alors il est possible de la même manière que la formule précédente, de déduire tout les triangles héroniens :
            // Triangle imaginaire i :
         Variable Li (Différence de longueur entre B et C) : ir( 1 , ∞ )
         Distorsion di : ir( 2 , ∞ )
            // Triangle imaginaire j :
         Variable Lj (Différence de longueur entre B et C) : ir( 1 , ∞ )
         Distorsion dj : ir( 2 , ∞ )
            // Les segments a des triangles imaginaires doivent avoir la même longueur :
         Segment ai : Li*di
         Segment aj : Lj*dj
            // Puis nous déduisons les 3 segments du triangle héronien :
         Segment a : (aj²/(Lj*2)) + (Lj/2)
         Segment b : ( (ai²/(Li*2)) - (Li/2) ) - ( (aj²/(Lj*2)) - (Lj/2) )
         Segment c : (ai²/(Li*2)) + (Li/2)
      Règles d'application restantes :

1 : Si L est impair et d est pair, L doit être plus grand que √(d), et ne peut être calculé que par la méthode mentionné dans la troisième règle d'application.
2 : Si L est pair et d est impair, d doit être plus grand que √(L).
3 : Si L et d sont de parité opposée, les segments b et c se calculent aussi de la manière suivante :

   // Les règles d'applications sur les nombres carrés ne s'applique pas avec cette variante de calcul.
  Segment imaginaire bi : (ai²/(di*2))
            Segment imaginaire bi : (aj²/(dj*2))

Segment a : ( (bj/2) + dj )

                Segment c : ( (bi/2) + di  )
            /* Pour le segment b uniquement, remplacez uniquement
            la ou les moitié(s) du calcul concerné :
            */
             // Si bn est pair :
                Segment b : ( (bn/2) - dn )
               // Si bn est impair :
                Segment b : bn - (dn/2)
         4 : Pour tomber uniquement sur des triplets pythagoriciens primitifs, la variable L doit être égal à 1 ou à 2. Plus précisément :

- si L est pair, (L/2) doit être un nombre premier pour tomber sur un triplet pythagoricien primitif.

- si L est impair, d doit être un nombre carré (4,9,16,25..).

- si d est égal à 1, alors le résultat sera un triplet primitif.

- Pour tout autre valeur, L tombera sur une version non-primitive.

5 : La somme de (L*d) doit avoir au minimum la valeur 3.

6 : Pour que la première variante du calcul pour déduire les segments b et c fonctionne, l'équation suivante doit être fausse : (3*L)=(2*d). Par exemple, pour L=6 et d=4, nous obtenons les segments 24,45 et 51. Cette équation est un discriminant.