Les Triangles Héroniens

À Propos

Prérequis :

   Source :
         Les triangles héroniens : https://mathworld.wolfram.com/HeronianTriangle.html
         Équation diophantienne : https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_diophantienne

Ce Manuscrit a pour but de répondre aux problèmes irrésolus suivant :
      Question #1 : Prouver l'existence d'une infinité de triangles héroniens.
      Réponse désirée par la communauté scientifique : Une méthode systématique permettant de générer une infinité de triangles héroniens reste inconnue. La question de savoir s'il existe une infinité de tels triangles avec des côtés et une aire entiers reste ouverte.
      Réponse Courte : Mon théorème universelle des triplets pythagoriciens permet de prouvé qu'il existe une infinité de triangles rectangle héronien. Ce manuscrit prouvera qu'il existe une infinité de triangles héroniens autre que des triangles rectangles héronien.
      Question #2 : La majorité des triangles héroniens connus sont des triangles rectangles. Cependant, la recherche de triangles héronien scalènes est un problème irrésolu.
      Réponse désirée par la communauté scientifique : Il n'existe pas encore de classification claire des triangles scalènes qui satisfont à ces critères ; un théorème est nécessaire.
        Réponse Courte : Le théorème des triplets pythagoriciens permet de déduire facilement tout les triangles isocèles héroniens et les triangles scalènes héroniens. Ce manuscrit apporte ce théorème recherché.
      Question #3 : Créer une caractérisation complète des triangles héroniens, c'est-à-dire une description précise de tous les triangles qui satisfont à cette condition.
         Réponse désirée par la communauté scientifique : Bien que la formule d'Héron permette de calculer l'aire d'un triangle à partir de ses côtés, il n'existe pas de méthode simple pour déterminer toutes les combinaisons entières possibles où l'aire égale la somme des côtés.
        Réponse Courte : Grâce à la formule universelle pour trouver les triangles scalènes combiné à la formule universelle des triplets pythagoriciens, une analyse rapide démontre qu'il n'existe que 5 triangles héroniens entiers.
            Note : Ce manuscrit répond par équivalence à la résolution de nombreux autres problèmes irrésolus, tel l'équation diophantienne : c s = ( a+b+c ) / 2

Chapitre 1 : Une infinité de triangles héroniens rectangles.

Grâce au théorème universel des triplets pythagoriciens, nous savons qu'il en existe une infinité et nous pouvons maintenant jusqu'à aller chercher un triplet pythagoricien primitif selon la longueur du segment a.

Pour tout triangle rectangle ayant uniquement des segments entiers et une aire entière :
      // Cette formule par défaut est celle des triplets pythagoriciens, avec ses règles d'application.
      // Les triplets pythagoriciens sont les triangles rectangles héroniens.
Variable L (Différence de longueur entre B et C) : ir( 1 , ∞ )
Variable d (Niveau de déformation) : ir( 1 , ∞ )
Segment a : ( (2-parity(L)) * (L*d) ) / min( parity(L) + magic(L,2) , 1 ) + L
Segment b : (a²/(L*2)) - (L/2)
Segment c : (a²/(L*2)) + (L/2)
      OU : ( b+L )
   Règles :
         1 : Le discriminant est « magic(L,2) + parity(d+1) = 2 ».
Note : magic(var,val) retourne 1 si la variable « var » est une puissance de la valeur « val ».
2 : Si L est égal à 1 ou à 2, alors nous tombons uniquement sur des triplets pythagoriciens primitifs.

Nous savons que ( a*(a/2) ) permet, à partir des segment a, de déduire tout les segments c dont la valeur de L est égal à 1. Mais aussi, que (a*(a/2))/L est la médiane de la longueur des segments b et c. Nous pouvons donc facilement en déduire que le calcul des segments b et c pourrait aussi être :
      Variable L (Différence de longueur entre B et C) : ir( 1 , ∞ )
      Variable d (Niveau de déformation) : ir( 1 , ∞ )
   Segment a : ( ( (2-parity(L)) * (L*d) ) / min( parity(L) + magic(L,2) , 1 ) ) + L
      Médiane m : ( a * (a/2) ) / L
         OU : (a²/2) / L
      Segment b : m - (L/2)
      Segment c : m + (L/2)
         OU : ( b+L )

Chapitre 2 : Une infinité de triangles héroniens isocèles.

Un triangle isocèle, c'est simplement deux triangles rectangles identique de collé. Pour tout triangle isocèle ayant uniquement des segments entiers et une aire entières, nous pouvons en déduire que :
      // Un triangle isocèle n'est rien d'autre que deux triangles rectangles identique.
      Variable L (Différence de longueur entre A et C) : ir( 1 , ∞ )
      Variable d (Niveau de déformation) : ir( 1 , ∞ )
      Segment a : ( ( (2-parity(L)) * (L*d) ) / min( parity(L) + magic(L,2) , 1 ) + L ) * 2
      Segment b et c : (a/2)² / (L*2) + (L/2)
         OU : ( ( ((a/2)²/2) / L ) + (L/2) ) / 2

Règles :

1 : Le discriminant est « magic(L,2) + parity(d+1) = 2 ».

Note : magic(var,val) retourne 1 si la variable « var » est une puissance de la valeur « val ».

2 : Si L est égal à 1 ou à 2, alors nous tombons uniquement sur des triplets pythagoriciens primitifs.

Nous pouvons simplifier cette Équation Alternative simplement en modifiant les possibilités de la Variable « L », comme nous l'avons fait pour les triplets pythagoriciens :
Discriminant restant : parity(L) + (parity(d)*2) = 2
Variable L (Différence de longueur entre A et C) : ir( 1 , ∞ )
Variable d (Niveau de déformation) : ir( 2 , ∞ )
Segment a : (L*2)*(d+2)
Segment b et c : ( (a/2)² / (L*2) ) + (L/2)
OU : ( ( (a/2)² / 2 ) / L ) + (L/2)

L'ensemble des triangles héroniens isocèles peuvent être définit avec tout les triplets pythagoriciens. L'équation alternative de conversion est :
      a = choose(a,b)*2
      b = c
      c = c

Chapitre 3 : Théorème pour les triangles héroniens scalènes.

Une formule permet de trouver presque tout les triangles héroniens scalènes :
      Hauteur h : ir( 3 , ∞ ) // Hauteur du segment a.
      Diviseur d1 : ir( 1 , ∞ ) // Diviseur de h, et de la même parité.
      Diviseur d2 : ir( 1 , ∞ ) // Diviseur de h, et de la même parité.
      Segment a : ( ( h² / (d1*2) ) + ( h² / (d2*2) ) - ( (d1+d2)/2 )
         OU :
               ( ((h²/d1) + (h²/d2)) - (d1+d2) ) / 2
     Segment b : h²/(d1*2) + (d1/2)
      Segment c : h²/(d2*2) + (d2/2)

Toutefois, il faut se dire qu'un triangle scalène, c'est simplement la soustraction entre deux triangles rectangles dont leur Segment a ou b possèdent la même longueur :

Discriminant #1 : parity(Li) + (parity(di)*2) = 2
Discriminant #2 : parity(Lj) + (parity(dj)*2) = 2
            // Triangle imaginaire i :
Variable Li : ir( 1 , ∞ )
     Variable di (Niveau de déformation) : ir( 1 , ∞ )
            // Triangle imaginaire j :
   Variable Lj : ir( 1 , ∞ )
     Variable dj (Niveau de déformation) : ir( 1 , ∞ )
            // Les segments an des 2 triangles imaginaires doivent être identiques :
   Segment ai : ( (2-parity(Li)) * (Li*d) ) / min( parity(Li) + magic(Li,2) , 1 ) + Li
     Segment aj : ( (2-parity(Lj)) * (Lj*d) ) / min( parity(Lj) + magic(Lj,2) , 1 ) + Lj
            // Déduction logique des segments a, b et c :
Segment a : (aj²/(Lj*2)) + (Lj/2)
      Segment b : abs( ( (ai²/(Li*2)) - (Li/2) ) - ( (ai²/(Lj*2)) - (Lj/2) ) )
     Segment c : (ai²/(Li*2)) + (Li/2)

Nous pouvons observer une relation dans tout les triangles héroniens : pour toute hypoténuse d'un triangle (le segment c), nous pouvons déduire que :
c = (2*L)*(d² + 1)
b = c-L
a = L*d

Grâce à la version simplifiée de la formule universelle des triplets pythagoriciens, il est possible de déduire tout les triangles héroniens. Si par défaut les triplets pythagoriciens représentent tout les triangles rectangles héroniens, alors il est possible de la même manière que la formule précédente, de déduire tout les triangles héroniens :

Discriminant #1 : parity(Li) + (parity(di)*2) = 2
Discriminant #2 : parity(Lj) + (parity(dj)*2) = 2
            // Triangle imaginaire i :
         Variable Li : ir( 1 , ∞ )
         Distorsion di : ir( 1 , ∞ )
            // Triangle imaginaire j :
         Variable Lj : ir( 1 , ∞ )
         Distorsion dj : ir( 1 , ∞ )
            // Les segments a des triangles imaginaires doivent avoir la même longueur :
         Segment ai : Li*(di+2)
         Segment aj : Lj*(dj+2)
            // Puis nous déduisons les 3 segments du triangle héronien :
             Segment a : abs( (ai²/(Li*2)) - (Li/2) ) - ( (aj²/(Lj*2)) - (Lj/2) )
         Segment b : (ai²/(Li*2)) + (Li/2)

Segment c : (aj²/(Lj*2)) + (Lj/2)
Règle d'application restante :
1 : Les discriminants (équations qui doivent être fausses pour que l'équation alternative soit vraie) sont les suivants :
1 : parity(Li) + (parity(di)*2) = 2
2 : parity(Lj) + (parity(dj)*2) = 2

Localiser les Triangles Héroniens Primitifs :
1 : Lorsque Li ou Lj est égal à 1, nous tombons toujours sur un triangle héronien primitif.
2 : Lorsque Li est égal à 2 et que di est un nombre pair, nous tombons toujours sur un triangle héronien primitif.
3 : Lorsque Lj est égal à 2 et que dj est un nombre pair, nous tombons toujours sur un triangle héronien primitif.
Méthode #2 :

// Triangle imaginaire i :

Variable Li : ir( 1 , ∞ )

Distorsion di : ir( 1 , ∞ )

// Triangle imaginaire j :

Variable Lj : ir( 1 , ∞ )

Distorsion dj : ir( 1 , ∞ )

// Les segments a des triangles imaginaires doivent avoir la même longueur :

Segment ai : Li*(di+2)

Segment aj : Lj*(dj+2)
Segment imaginaire bi : (ai²/(di*2))
Segment imaginaire bi : (aj²/(dj*2))

// Première alternative sans condition pour les segment b et c :

Segment b : ( (bn/2) - dn )

Segment c : ( (bn/2) + dn )

// Deuxième alternative possible lorsque bi est pair

// Note : Dans les mathématiques de SCI, les nombres décimaux sont considérés comme étant impair.
Segment b : ( (bj/2) + dj )

            Segment c : ( (bi/2) + di )
            /* Pour le segment b uniquement, remplacez uniquement
            la ou les moitié(s) du calcul concerné :
            */
      Règle d'application restante :
1 : Les discriminants (équation qui doivent être fausses pour que l'équation alternative soit vraie) sont les suivants :
1 : Ln = 2
2 : (2*Ln) + dn < 6

Localiser les Triangles Héroniens Primitifs :
1 : Lorsque l'équation « parity(rnd( ((Ln*dn)² / (dn*2)) / 2 )) = 1 » est vraie, alors nous tomberons toujours sur un triangle héronien primitif. Cette équation peut être visuellement simplifiée par « parity( rnd( bn/2 ) ) = 1 ».