Ceux qui ont le privilège de savoir ont le devoir d'agir.
Ensemble, mettons un terme à la corruption et à la pauvreté.
Le Pot Pourri de Kilroy
Cette page renferme des problèmes irrésolus qui ont été résolu en quelques secondes. C'est-à-dire le temps de lire la question, et d'écrire la réponse.
Problème Irrésolu #1 : Conjecture d'Erdős-Faber-Lovász (1972)
Soit un graphe G formé de k cliques de taille k. Si deux quelconques de ces cliques ont au plus un sommet en commun, alors les sommets du graphe G peuvent être colorés avec au plus k couleurs de sorte que deux sommets adjacents (reliés par une arête) n'aient pas la même couleur.
Solution : La conjecture est vrai. Grâce à la méthode déjà utilisée dans la résolution du tricoloriage avec des graphes planaires, nous pouvons la reproduire pour tout graphes formés. Consulter le lien du Tricoloriage pour découvrir la méthode, qui vient avec un open-source adapté aux deux théories.
Note : Bien qu'il y ai un prix de 500$ pour la résolution de ce problème, comme pour tout les autres prix, je ne toucherais pas à cet argent, et comme pour toutes les autres découvertes, elle sera pareillement censurée. Partagez si vous soutenez mes ouvrages.
Problème #2 : Conjecture du Théorème de Folkman
Pour tout r et tout ensemble de graphes {H1,H2,...,Hk}, il existe un nombre F({H1,H2,...,Hk},r) tel que tout graphe G avec au moins F({H1,H2,...,Hk},r) sommets contient un sous-graphe Kn pour lequel il existe une coloration en r couleurs évitant que chaque Hi soit monochrome.
Solution : La résolution du théorème de Ramsey apporte la réponse avec le même calcul. L1 est le degré moyen des arêtes dans une clique, c est le nombre de couleurs utilisées, et T le total minimal de formes F.
Lien détaillé de la conjecture : Wikipédia.
Problème Irrésolu #3 : La Conjecture d'Erdős–Hajnal
Pour chaque k, il existe une constante c telle que tout graphe bicolore avec n sommets qui ne contient pas un sous-graphe complet Kk comme sous-graphe induit, doit avoir un sous-graphe complet induit Kc , où c est un certain nombre fixe qui ne dépend pas du graphe.
Solution : La conjecture est vrai. La résolution du théorème de Ramsey apporte la réponse. n représente le nombre de sommets dans le graphe que vous examinez. L1, c'est le nombre d'arêtes dans la forme de sous-graphe que vous examinez. Par exemple, si vous cherchez un sous-graphe complet induit K7 (un sous-graphe avec 7 sommets), L1 serait égal au nombre d'arêtes dans K7, soit 21 arêtes.
c est le nombre de couleurs ou partitions dans lesquelles le graphe est divisé. Cela fait référence à la façon dont les sommets du graphe sont regroupés ou colorés, chaque groupe de sommets ayant une couleur différente. Et enfin, T présente le nombre total de formes présentes dans le graphe selon la conjecture.
Problème #4 : La conjecture de Erdős–Szekeres sur les sous-graphes complets
Il n'est pas encore prouvé qu'il existe un nombre minimal d'arêtes nécessaires pour garantir la présence d'un certain sous-graphe complet (par exemple, Kk ) dans n'importe quel graphe suffisamment grand.
Solution : La résolution du théorème de Ramsey apporte la réponse avec le même calcul ; La conjecture est vrai. n reste le nombre de sommets dans le graphe. La variable c représente ici le nombre de partitions. L1 est le nombre d'arêtes dans le sous-graphe complet Kk. Et T est le nombre total de sous-graphes complets recherchés.
Lien détaillé de la conjecture : Wikipédia.
Problème Irrésolu #5 : La conjecture de Turán.
La conjecture de Turán demande : Quelle est la densité minimale de graphe G sur n sommets qui contient toujours un sous-graphe complet monochromatique Kr lorsqu'il est coloré avec r couleurs ?
Solution : Encore grâce à la résolution du théorème de Ramsey, nous pouvons prouver que la conjecture de Turán est vrai. pour T = rnd( rnd( n / c ) / L1 ) , n représente le nombre total de sommets dans le graphe coloré. Le nombre de couleurs utilisées pour colorier les arêtes du graphe est représenté par c.
L1, c'est le nombre d'arêtes dans le sous-graphe complet que nous cherchons à trouver dans le graphe monochromatique. F.i représente le nombre de formes monochromes attendues dans chaque partition. Et enfin, la variable T représente la valeur qui représente l'existence d'un sous-graphe complet monochromatique dans le graphe coloré. Si T=0, cela signifie qu'un tel sous-graphe n'existe pas avec les paramètres donnés. Si T>0, cela signifie qu'un sous-graphe complet monochromatique existe.
Problème #6 : Le problème de la partition d'arêtes (ou partition de graphes complets)
Peut-on partitionner un graphe complet en sous-graphes, de sorte que chaque sous-graphe contienne un motif spécifique (comme un cycle ou une chaîne) et que chaque sous-graphe soit de taille minimale ?
Solution : Toujours avec la résolution du théorème de Ramsey, nous utilisons cette fois les 3 équations finales pour résoudre le problème. n est nombre total d'arêtes du graphe complet Kv. L1 est nombre d'arêtes dans une forme. c représente le nombre de couleurs ou de partitions dans lesquelles on divise les arêtes, et F.i est nombre de formes monochromes que l'on s'attend à trouver dans chaque partition. Et T est le nombre total de formes.
Donc, pour savoir s'il y a le même nombre de forme dans chaque couleur, nous comparons les résultats des 2 équations suivantes :
// F.2 représente le nombre de forme dans chaque partition, sauf dans une seule : la partition F.1.
F.1 = rnd( rnd( rnd( n / 2 ) / L1 ) / 2 )
F.2 = rnd( ( rnd( n / c ) - F.1 ) / L1 )
Le nombre total de forme est égal à T = rnd( rnd( n / c ) / L1 ) . Donc vous pouvez aussi diviser le nombre total de forme par le nombre de couleur pour vérifier si vous avez le même nombre de formes dans chaque partition. Pour éviter les calcul de F.i , vous pouvez faire le calcul T/c afin de vérifier le nombre de forme par partition. Ensuite, si le résultat à des décimal, ne prenez que les décimale, et fait une division avec le chiffre un afin de connaître le nombre de forme isolée.
Lien détaillé du problème : Wikipédia.
Problème Irrésolu #7 : Le théorème de Graham-Pollak :
En théorie des graphes, le théorème de Graham-Pollak affirme que les arêtes d'un graphe complet à n sommets ne peut être partitionné en moins de n-1 graphes bipartis complets.
Solution : Cette conjecture est vrai. La résolution du théorème de Ramsey peut être utilisée pour apporter le théorème recherché. Ici, n est Le nombre total de sommets dans le graphe Ki. L1 c'est le nombre d'arêtes dans chaque partition. c représente le nombre de couleurs ou de partitions dans lesquelles nous divisons les arêtes du graphe. F.i c'est le nombre de formes (ou de partitions monochromes) que nous recherchons dans chaque sous-ensemble ou partition, et enfin T représente le nombre total de formes (c'est-à-dire, le nombre total de partitions dans le graphe).