Les Nombres Congruents

À Propos

Prérequis :

Introduction :
Une fois traduites en applications concrètes (comme des outils de conception architecturale ou des logiciels éducatifs), ces formules pourraient se retrouver dans des technologies utilisées quotidiennement. Ces concepts liés aux courbes elliptiques et aux nombres congruents peuvent protéger les communications et transactions numériques en renforçant les systèmes de sécurité, ou encore permet de créer des outils pour modéliser des formes géométriques complexes dans l’impression 3D.

Les problèmes Irrésolus

Relation avec les triangles de Heron : Les nombres congruents et les triangles de Heron partagent une relation géométrique complexe, notamment parce qu'ils impliquent tous deux des aires rationnelles. Une question irrésolue est de savoir si chaque nombre congruent peut être associé à un triangle de Heron.
  Réponse courte : Chaque nombre peut être associé à un triangle rectangle héronien ou à un triplet pythagoricien. Malgré l'évidence (seule la rationalité des nombres ont été ajouté à la définition d'un triplet pythagoricien), je vais fournir quelques théorèmes fondés sur les triplets pythagoriciens afin de lister tout les nombres congruents.
   Exemple d'utilité de la découverte :
      Architecture et ingénierie : Une formule qui génère des triangles rectangles rationnels peut être utilisée pour concevoir des structures précises sans erreurs d’arrondi. Par exemple, cela peut aider à optimiser les angles dans la construction de ponts, de toits ou d’escaliers.
      Modélisation informatique : Dans la conception de jeux vidéo, de logiciels de simulation ou de graphiques 3D, ces triangles peuvent être utilisés pour représenter des formes géométriques avec une précision maximale.
      Éducation : Cette formule pourrait être intégrée dans des logiciels pédagogiques pour enseigner les concepts de triangles rectangles et de géométrie rationnelle de manière dynamique.

   Énoncé général sur les nombres congruents : Un nombre est dit congruent s'il est l'aire d'un triangle rectangle dont les côtés sont rationnels. Le problème non résolu est de savoir si un nombre donné est toujours congruent et comment déterminer efficacement les nombres congruents pour chaque cas. Le problème consiste à déterminer si un entier donné est congruent, et si oui, à identifier les conditions qui le rendent tel. Actuellement, il n'existe pas de formule générale ni de méthode exhaustive permettant de prédire efficacement si un nombre est congruent.
   Réponse Courte : En utilisant la formule du problème précédent, nous pouvons déterminer l'aire d'un triangle rectangle irrationnel, reflétant l'interaction profonde entre la géométrie, l'algèbre et la théorie des nombres. La formule « y² = x³ - ( n² * x ) » a été remplacée par une formule fonctionnant sur tout les nombres congruents.
  Exemple d'utilité de la découverte :
      Sécurité informatique : Les courbes elliptiques sont utilisées dans la cryptographie (comme dans le chiffrement ECC). Une formule généralisée pourrait améliorer l’efficacité ou la sécurité des algorithmes en optimisant la recherche de points sur les courbes.
     Recherche en finance : Les courbes elliptiques sont également utilisées dans les modèles de calcul de risques financiers et dans la gestion des actifs. Une formule permettant de manipuler ces courbes plus facilement pourrait être utile pour développer de nouveaux outils.
      Mathématiques récréatives : Offrir une méthode claire et intuitive pour explorer les triangles rationnels et leurs liens avec les nombres congruents pourrait populariser des concepts mathématiques complexes auprès d'un large public.

   Problème des nombres congruents impairs : Alors que de nombreux nombres pairs sont reconnus comme congruents, la caractérisation complète des nombres impairs congruents n'est pas résolue. Trouver une formule ou un critère qui identifierait de manière exhaustive les nombres impairs congruents reste un objectif.
   Réponse Courte : Avec la formule précédente, il est possible d'isoler tout les nombres congruent impaires.
   Exemple d'utilité de la découverte :
      Optimisation des algorithmes : Savoir comment la parité (pair ou impair) influence les nombres congruents pourrait être exploité dans les calculs optimisés pour des logiciels ou des appareils nécessitant une gestion efficace des ressources.
      Théorie des nombres : Ces résultats peuvent être enseignés dans des cours avancés pour illustrer comment des concepts abstraits trouvent des liens profonds entre eux, suscitant l’intérêt pour la recherche mathématique.
      Application dans des systèmes physiques : Certaines propriétés des nombres congruents pourraient modéliser des phénomènes naturels ou des systèmes mécaniques, en exploitant leur comportement pair/impair pour créer des motifs récurrents.

Chapitre 1 : Énumération des nombres congruents par théorème.

En prenant la formule universelle des triplets pythagoriciens, il nous est possible de d'énumérer tout les nombres congruents de la même manière que nous l'on fait pour les triangles héroniens, sauf que cette fois, nous y incluons les nombres rationnelles comme segments, et nous conserverons les nombres entiers pour l'aire.

La formule de l'aire de Heron permet de connaître l'aire d'un triangle :
√( ((a+b+c)/2)*(((a+b+c)/2)-a)*(((a+b+c)/2)-b)*(((a+b+c)/2)-c) )

      Cependant, comme nous recherchons à partir de l'aire d'un triangle rectangle, nous pouvons vérifier l'aire de cette façon :
      // Si d est impair et L est pair :
         ( (L*d) * ( (a²/(L*2)) + ((L*2)-1) - d ) ) ) / 2
   // Sinon :
         ( (L*d) * ( (a²/(L*2)) - (L/2) ) ) / 2

Pour l'aire de chaque triangle héronien, nous pouvons obtenir un nouveau triangle rationnel en divisant chaque segment par une même valeur n : le résultat de (A/n²) affiche l'aire du nouveau triangle si les segments sont divisés par n. Il faut donc regarder tout les diviseur qui sont des carrés parfaits (4,9,16,25...) de l'aire A : pour chacun de ces diviseurs n de A, nous obtenons un nouveau triangle rationnel :
   // Conversion du Triangle i vers un nouveau Triangle j :
      // Règle : Aj doit être un nombre entier.
      // Règle : n doit être un carré parfait.
         Aire Aj : Ai / n
         Segment aj : ai / √(n)
         Segment bj : bi / √(n)
         Segment cj : ci / √(n)

Ainsi, nous pouvons redéfinir ce qu'est un nombre congruent par équivalence. Un nombre congruent peut être :
1 : Un nombre entier représentant l'aire d'un triangle rationnel.
2 : Un nombre qui est le résultat de A/n, où A représente l'aire d'un triplet pythagoricien (6 et +), et n un carré parfait qui est un divisible de A.

Nous pouvons tracer une courbe de cette façon :
      SO()==
         OM(1) ;
            // Un nombre congruent est choisi au hasard.
         A = ir( 1 , ∞ )² * ir( 1 , ∞ ) ;
         SL() ;
      SL()==
         PR(A, rnd(√(i)) )
         { RA( (A/i²) = rnd(A/i²) )
            {       // Nouveau nouveau congruent.
               A = ( A/i² ) ;
            }
         }

Comme la longueur du segment a sera toujours un divisible de l'aire A du triangle rationnel, nous pouvons aussi calculer à partir de la longueur du segment a :

        Variable L (Différence de longueur entre B et C) : ir( 1 , ∞ )
   Distorsion d : ir( 2 , ∞ )
   Application du carré c à L ou à d : c = choose( L , d )
   Segment a : (L*d*c) / c²
      // Si c est égale à d :
   Segment b : (a²/(L*2)) - (L/2)
   Segment c : (a²/(L*2)) + (L/2)
      // Si c != d :
   Segment b : (a²/(L²*2)) - (L²/2)
   Segment c : (a²/(L²*2)) + (L²/2)
      Règles d'application :
         1 : Si d est un nombre impair, L doit être pair.
         2 : Si d est pair et L est impair, L doit être plus grand que √(d), et les segments b et c se calculent de la manière suivante :
            Segment imaginaire bi : (a²/(d*2))
               // Si bi est paire :
            Segment b : (bi/2) - d
            Segment c : (bi/2) + d
               // Si bi est impaire :
            Segment b : bi - (d/2)
            Segment c : bi + (d/2)
            3 : Pour tomber uniquement sur des triplets pythagoriciens primitifs, la variable L doit être égal à 1 ou à 2. Pour tout autre valeur (sauf pour la variante de la règle #2), L tombera sur une version non-primitive.

Cependant, cette méthode, par sa logique, semble montrer que certains triangles rationnels ne peuvent pas être détecté de cette façon ; il faut donc une approche différente. L'exploitation de la formule universelle des triplets pythagoriciens garanti de découvrir tout les triangles rationnels, à la condition de pouvoir y inclure l'utilisation de nombres rationnelles pour la longeur des segments :
      Variable r (distorsion rationnel) : ir( 1 , ∞ )
      Variable L (Différence de longueur entre B et C) : ir( 1 , ∞ )
   Distorsion d : ir( 1 , ∞ )
      Segment a : ( L * d ) / r
      Segment b : ( ( ( L * d )² / ( L * 2 ) ) - ( L / 2 ) ) / r
      Segment c : ( ( ( L * d )² / ( L * 2 ) ) + ( L / 2 ) ) / r
   Règles d'application :
      1 : Si L et d sont de parité opposée, et que L est plus grand que √(d) : les segments b et c peuvent aussi être calculé de la manière suivante :
            // Les règles d'applications sur les nombres carrés ne s'applique pas avec cette variante de calcul.
         Segment imaginaire bi : (a²/(d*2))
            // Si bi est pair (possible dans les 2 sens si d est plus grand que √(L) ) :
         Segment b : ( (bi/2) - d ) / r
         Segment c : ( (bi/2) + d ) / r
            // Si bi est impair (possible dans les 2 sens si L est plus grand que √(d) ) :
         Segment b : ( bi - (d/2) ) / r
         Segment c : ( bi + (d/2) ) / r
      2 : Si L est impair et d est pair, L doit être plus grand que √(d) afin d'utiliser la première variante du présent calcul déterminant les segments b et c.
      3 : La somme de (d*L) doit avoir au minimum la valeur 3.
      4 : Pour que la première variante du calcul pour déduire les segments b et c fonctionne, l'équation suivante doit être fausse : (3*L)=(2*d). Par exemple, pour L=6 et d=4, nous obtenons les segments 24,45 et 51. Cette équation est un discriminant.
      5 : Règles d'application sur r :
         // Les valeurs carrées :
      1 : Si d est un nombre carré pair (4,16,36,64..), r peut-être un diviseur de ( √(d) / 2 ) .
      2 : Si L est un nombre carré pair (4,16,36,64..), r peut-être un diviseur de ( √(L) / 2 ) .
      3 : Si d est un nombre carré impair (9,25,49,81..), r peut-être un diviseur ( √(d) * 2 ) .
      4 : Si L est un nombre carré impair (9,25,49,81..), r peut-être un diviseur ( √(L) * 2 ) .
      5 : r peut être un diviseurs de (L/2).
        6 : Si d n'est pas un de divisible de L, et vice-versa, alors r peut-être un diviseur de (L*2).

Localiser les nombres décimaux :
      1 : Si nous utilisons la variante « a²/(L*2)-(L/2) » pour le segment b, et que L est impair, alors il y aura toujours un segment avec un nombre rationnel.
      2 : Si r n'est pas égal à 1, et que d est un nombre carré, alors il y aura toujours un segment avec un nombre décimal.
      3 : Si d et L sont de parité opposé, et si r est plus grand que (√(L)/2) , alors il y aura toujours un segment avec un nombre décimal.

Chapitre 2 : Théorème pour vérifier si un nombre est congruent.

Il existe une formule pour vérifier si un nombre est congruent « y² = x³ - ( n² * x ) » (n représente l'aire d'un triangle rectangle irrationnelle lorsqu'il est un entier), cependant, elle ne permet pas de vérifier tout les triangles rectangles rationnels car elle est limitée par sa forme d'expression (p.ex : A=54, a=9, b=12, c=15). Je me permet donc de corriger cette erreur, en utilisant la formule précédente :
         // La définition des variables et les règles d'applications sont mentionnés dans la formule précédente.
      A = ( ((L*d)/r) * ( ( ((L*d)/r)² / 2 ) - (L/2) ) )
         // A représente l'aire du triangle rectangle rationnel.

Chapitre 3 : Isolation des nombres congruents impairs.
Un rapide constat des possibilités de la formule précédente permet de connaître les critères qui définisse la parité des nombres congruents :
      Si r est Impair : A est un nombre congruent pair.
      Si r est Pair :
         Si L est Pair :
            Si d est Impair : A est un nombre congruent pair.
            Si d est Pair : A est un nombre congruent pair.
         Si L est Impair :
            Si d est Impair : A est un nombre congruent impair.
            Si d est Pair : A est un nombre congruent pair.
      Note : Il y a sept fois plus de nombre congruent pair que de nombre congruent impair.