Conjecture de Syracuse

La Conjecture de Syracuse

Avant Propos :

Tout problème pouvant être défini peut être résolue. Pour résoudre et prouver la conjecture de Syracuse, il faut un théorème qui permet de vérifier la conjecture, peu importe les valeurs appliqués dans les logiques, permettant de prouver hors de tout doute que cette conjecture est vrai. Bakuage a déclaré offrir un prix de 120 millions de yens à celui qui résoudra cette conjecture, un problème mathématique qui était non résolu depuis 84 ans. Malheureusement, comme pour les autres manuscrits : tout est censuré.

Prérequis :
Référentiel de SCI, volume 1.

Logistique du Problème :
Pour le nombre entier N :
- s'il est paire, diviser par 2 .
- s'il est impaire, multiplier par 3, puis ajouter +1 .
Après que le nombre 1 a été atteint, la suite des valeurs (1,4,2,1,4,2…) se répète
indéfiniment dans un cycle de longueur 3, une suite appelé cycle trivial.

Logistique du Problème en SCI :
RA( parity( N ) )
{ N = N / 2 ;
} !
{ N = ( N * 3 ) + 1 ;
}

La Question :
Existe-t-il des nombres de départ d'où il y aurait-pas le cycle "4,2,1" qui se répète? Et pouvons nous-nous le démontrer avec un théorème?

Réponse Courte :
// P.1 = Logique de division.
// P.2 = Logique de multiplication.
// P.3 = Logique d'addition.
   // Si M reste un nombre entier, il n'y a que des orbites en boucle.
   /* Si M tombe sur un nombre décimal sur l'une des lignes, alors il n'y a
   pas que des boucles infini.
   */
M = ( abs(P.1 - P.2 ) + abs(P.1 - P.3) ) / P.1 ;
M /= abs(P.1 - P.2) ;
M = min(abs(P.1 - P.2 + P.3),1) / M ;

Réponse :
le nombre 2 est un nombre magique (2,4,8,16,32...). Par conséquent, lorsque le nombre N rencontre un nombre magique, il ferme la boucle. La fermeture fera toujours « n*3+1 » arrivent sur un nombre magique avant de diviser par 2 jusqu'as 1.

Il n'existe aucune exception, car l'espace entre 2 nombres magique sera toujours inférieur à l'espace entre « N » et « N * 3 + 1 » . Mais également, pour qu'une tel exception puisse exister, il faudrait une suite logistique permettent d'éviter tous les nombres magiques.

Plus Précisément, il n'existe aucune suite dont la valeur ne puisse excéder 6 nombres magique au-dessus +1. Si par exemple votre nombre se trouve en dessous de 128, le nombre le plus élevé n'excédera jamais 8193.

Pour chaque nombre magique, nous pouvons observer que pour chaque nombre qui le précède, une suite logique en boucle apparait : divisible par 3, pas divisible par 3, divisible par 3, pas divisible par 3.... et pareillement pour le nombre qui le suit.

Comme la logique du problème possède une marge de plus de 2 nombres magique, aucun cycle ne peut échapper à 4,2,1. Une formule permet de le vérifier soit même. Si (P.2+P.3)/2=P.1 est vrai, et que le résultat de la formule mentionné dans la réponse courte est vrai, Alors il n'existe qu'une seule suite.

Nous pouvons également observer un phénomène : si un nombre impair est multiplié par 3, puis que nous additionnons 1, le résultat sera toujours pair. En revanche, un nombre pair divisé par 2 à autant de chance d'arriver à un nombre impair qu'as un nombre pair. Ensuite, à chaque fois que nous arrivons sur un nombre pair, à l'exception des nombres magiques, les divisibles pairs du nombre précédent ne seront jamais les mêmes que ceux du nombre suivant si le nombre impair n'est pas un nombre premier.

La distance entre deux nombres magiques M n'est pas relative à l'équation (N*3)+1 lorsque N n'est pas un nombre magique. Comme la conjecture suit une courbe qui ne suivra jamais la courbe des différences entre les nombres magiques, il est impossible d'obtenir une fin différente de la suite 4,2,1.

Cependant, pour prouver que la conjecture est vrai, il faut un théorème qui permet de savoir si la logique sera en boucle peu importe le nombre de départ, et peu importe les valeur installer pour les logiques de division et de multiplication & addition. Les règles : si le nombre est divisible par la logique du diviseur : on divise ; sinon, on multiple puis on additionne.

Voici donc le théorème qui permet de prouver la conjecture de Syracuse :

SO() ==
   P.1= 2 // logique de division. Par défaut : /2
    P.2= 3   // logique de multiplication. Par défaut : *3
    P.3= 1 // logique d'addition. Par défaut : +1
    R = 0 // Variable de Résolution.
    M = 0 ;   // Déclare si tout les orbites sont bouclé ou non.

SLP() ;
SLP()==
/* Pour la logique suivante, où n est un nombre choisi au début au hasard

avant d'appliqué les logiques répétés :
   RA( (n/P.1)=rnd(n/P.1) )
      { n /= P.1 ;
      }!
      {    n *= P.2 ;
            n += P.3 ;
      }
   */
   /* La variable de Résolution R stock le calcul permettant d'obtenir une
   valeur à analyser.
*/
     R = abs(P.1 - P.2 )+abs(P.1 - P.3 ) ;
     RA( R=rnd(R) )
{    R = R/P.1 ;
        RA( R=rnd(R) )
      { R = R/abs(P.1 - P.2) ;
            RA( R=rnd(R) )
{    R = min(abs(P.1 - P.2 + P.3),1) / R ;
               RA( R=rnd(R) )
{    M = 1 ;
               } !
               {   M = 0 ;
                  }
} !
            {    M = 0 ;
            }
} !
         {    M = 0 ;
      }
   } !
   {    M = 0 ;
}
AF() ;
AF()==
      // Depuis la valeur obtenu, nous vérifions s'il n'y a que des orbites en boucle.
     RA( M = 1 )
{ msg("La suite ne possède que des orbites en boucle infini.") ;
   } !

{ msg("La suite ne possède pas que des orbites en boucle infini.") ;

}

Conclusion

Toute suite logique tournera inévitablement en Orbite infini, ou bien en progressent toujours dans une direction, ou bien finissent toujours par le même cycle ce répètent à l'infini. Pour l'exemple de Syracuse, peu importe le nombre de départ, la suite est vouée à toucher un nombre magique ; c'est un orbite infini. Voici un autre exemple, auquel une seule règle est modifié, et qui, malgré les apparences, la valeur 0 est inévitable :

À partir d'un entier N :

  S'il y a un nombre premier à une distance de deux unités :
           n=rnd(n/2) ;
         Sinon :
            n *= 3 ;